- سنگ‌فرش با چندضلعی‌های منتظم
همان‌طور که پایوس گفته است، تنها سه نوع چندضلعی منتظم وجود دارد که می‌توان برای فرش کردن صفحه به کار گرفته شوند، این سه نوع چندضلعی منتظم، عبارتند از مثلث متساوی الاضلاع، مربع و شش‌ضلعی منتظم. البته باید توجه داشت که در اینجا صحبت بر سر فرش کردن صفحه با اشکال منتظم قابل انطباق است. یعنی همه‌ی چندضلعی‌ها، یک شکل و برابرند، درک این مطلب نیز آسان است که صفحه را می‌توان با مثلث متساوی‌الاضلاع هم‌نهشت و یا مربع‌های هم‌نهشت، هم‌فرش کرد.

این که چندضلعی منتظم دیگری وجود ندارد که بتوان به‌کمک آن، صفحه را پوشاند به‌سادگی و با توجه به زوایای داخلی آنها ثابت می‌شود. رئوس n-ضلعی منتظم را P₁, P₂, …, P_n می‌نامیم. ضلع P₁P₂ را از طرف P₂، ضلع P₂P₃ را از طرف P₃ و ضلع P₁P_n را از طرف P₁ اندکی امتداد می‌دهیم. n زاویه‌ی خارجی n ضلعی به‎دست می‎آید. اگر اندازه‎ی یکی از زوایای داخلی را ϴ بگیریم، اندازه‌ی هر یک از زوایای خارجی برابر180-ϴ درجه می‌شود. مجموع n زاویه‌ی خارجی برابر است با 360 درجه، بنابراین:

n (180-ϴ) = 360 ⇒ ϴ=180^° - 360/n (1)

اگر از n-ضلعی‌های منتظم هم‌نهشت، برای فرش کردن صفحه استفاده شود، باید در هر راس، زاویه‌ها دقیقا با هم جفت شوند، به‌نحوی که در آنجا، هیچ شکافی وجود نداشته باشد. اگر در یک راس فرش K مرتبه از اضلاع یک n‌-ضلعی استفاده شده باشد، آن وقت باید داشته باشیم Kϴ = 360^°. اگر به جای ϴ دو برابر Kϴ = 360^°، مقدار آن را از برابری (1) قرار دهیم، به‌دست می‌آید:

K (180 - 360/n) = 360 ⇒ K (1 - 2/n) = 2

این برابری را می‌توان به‌صورت مختلف نوشت، از جمله
K (n-2) = 2n, (K-2) (n-2) = 4
روشن است که باید 4 بر n-2 بخش‌پذیر باشد. از طرفی 4 تنها بر 1, 2, 4 بخش‌پذیر است پس تنها می‌توانیم داشته باشیم:

n-2 = 1 یا 2 و یا 4 است. که به‌دست می‌آید:
n=3 یا 4 یا 6 است.

به این ترتیب حکم مطلوب به‌دست می‌آید.

بنابراین برای ساختن کندوی عسل، زنبورها تنها می‌توانند از مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، مربع‌ها و یا شش‌ضلعی‌های منتظم استفاده کنند. از میان این سه شکل، شش‌ضلعی منتظم بزرگ‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد، یعنی شش‌ضلعی‌های منتظم، بهترین نامزد از بین چند‌ضلعی‌های منتظم هستند.

خداوند جهان هستی را به زبان ریاضی نوشت. «گالیله»
در این بخش دو نوع سنگ‌فرش زیر را به اجمال معرفی و امکان یا عدم امکان آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

فرش کردن با چندضلعی‌های مقعر

در بند بعد خواهیم یافت که صفحه را نمی‌توان به‌کمک چندضلعی‌های محدب هم‌نهشتی که هفت ضلع یا بیشتر دارند فرش کرد. اما در مورد چندضلعی‌های مقعر وضع به‌گونه‌ی دیگری است.

در شکل زیر یک هشت‌ضلعی مقعر دیده می‌شود که می‌توان به‌کمک آن صفحه را فرش کرد ( هشت‌ضلعی ABCDEFGH).

پاره‌خط‌های راست DE و AH موازی و برابر یک‌دیگرند و چهار‌ضلعی‌های ABCD و HGFE هم‌نهشتند. اگر پاره‌خط‌های راست AD و HE را رسم کنیم، مستطیل ADEH به‌دست می‌آید. این مستطیل، فرورفتگی HGFE از هشت‌ضلعی را پر و بخش ABCD از آن را حذف می‌کند. در ضمن، مستطیل ADEH، مساحتی برابر با مساحت هشت‌ضلعی و محیطی کمتر از محیط آن دارد، در نتیجه، نسبت هم پیرامونی در مستطیل ADEH، بزرگتر از نسبت هم پیرامونی برای هشت ضلعیABCDEFGH است. علاوه براین، روشن است که، هر مستطیلی، برای فرش کردن صفحه، مناسب است.
به این ترتیب، بین چندضلعی‌های منتظم، چندضلعی‎های مقعری که برای فرش کردن مناسبند، شش‌ضلعی‌های منتظم بزرگ‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد. تنها این مطلب باقی می‌ماند که چندضلعی‌های محدب را هم مطالعه قرار دهیم.

فرش کردن با چندضلعی‌های محدب

از هر مثلث دل‌خواهی می‌توان، برای فرش کردن صفحه استفاده کرد. همین حکم درباره‌ی چهارضلعی دل‌خواه هم درست است. احکام ساده‌ای است که انتظار می‌رود خواننده خود آنها را اثبات کند. برخی از پنج‌ضلعی‌های محدب (البته، نه همه‌ی آن‌ها)، برای فرش کردن صفحه مناسبند، به همین ترتیب در مورد شش‌ضلعی‌های محدب، مساله مربوط به شش‌ضلعی‌های محدبی که برای سنگ‌فرش مناسبند کاملا حل شده است، ولی مساله‌ی مشابه آن، برای پنج‌ضلعی‌های محدب، هنوز به‌طور کامل حل نشده است.

نمونه‌ای از شش‌ضلعی‌های محدب، که برای فرش کردن صفحه مناسبند، شش‌‎ضلعی منتظم است. به‌کمک همین شش‌ضلعی منتظم، می‌توان نمونه‌ای از پنج‌ضلعی محدب را، که برای فرش کردن صفحه قابل استفاده باشد، به‌دست آورد. برای این منظور، کافی است مثلا وسط‌های دو ضلع روبه‌رو از شش‌ضلعی منتظم را، با پاره‌خط راستی، به یک‌دیگر متصل کنیم، در این صورت، شش‌ضلعی مفروض به دو پنج‌ضلعی هم‌نهشت تبدیل خواهد شد که برای فرش کردن صفحه مناسبند. ولی، همان‌طور که اشاره شد، هنوز این مساله حل نشده است که، یک پنج ضلعی محدب دل‌خواه، با چه شرایطی می‌تواند برای فرش کردن مورد استفاده قرار گیرد.

فرش کردن صفحه با چند ضلعی های محدب
در مورد فرش کردن صفحه با چند‌ضلعی‌های محدب، قضیه زیر را داریم:

به ازای n≥7، نمی‌توان یک n-ضلعی محدب را پیدا کرد که برای فرش کردن صفحه مناسب باشد.

ما به اثبات این قضیه نمی‌پردازیم. برای اثبات، خواننده می‌تواند از کتاب مرجع استفاده کند. «لازم به ذکر است که اثبات مقدماتی اما طولانی در مرجع مورد استفاده موجود است».

بحث و نتیجه

از آن چه در این دو زنگ‌تفریح اشاره شد، می‌توان نتیجه گرفت که:

از بین همه‌ی چند‌ضلعی‌هایی که برای فرش کردن صفحه مناسبند. شش‌ضلعی منتظم، بیش‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد. یعنی دارای بیش‌ترین مساحت با محیط مفروض است. آخرین قضیه نشان می‌دهد برای فرش کردن صفحه نمی‌توان از چندضلعی‌هایی با بیشتر از یا مساوی هفت ضلع استفاده کرد. همچنین در بند فرش کردن با چندضلعی‌‍های مقعر دیدیم که احتمال پوشاندن صفحه با این چند‌ضلعی‌ها وجود دارد، ولی در هر حال، می‌توان چندضلعی محدبی با نسبت هم‌پیرامونی بزرگ‌تر، برای پوشاندن صفحه پیدا کرد (درست است که اثبات را به‌کمک یک مساله‌ی خاص انجام دادیم، ولی می‌توان آن را تعمیم داد. تعمیم‌های بدیهی را به خواننده واگذار می‌کنیم « هرشتاین»).

حال نوبت چندضلعی‌هایی که با 3، 4، 5 و 6 ضلع باشند، می‌رسد. به آسانی می‌توان مشاهده کرد که در بین مثلث متساوی‌الاضلاع و چهارضلعی‌ها، مربع دارای بیش‌ترین نسبت هم‌پیرامونی است. نتیجه‌ی مشابهی برای شش‌ضلعی‌ها برقرار است. همچنین روشن است که نسبت هم‌پیرامونی برای چندضلعی‌ها با افزایش n، بزرگتر می‎ شود.

و اما درباره‎ی پنج‎‌ضلعی‎های محدب، به‎آسانی ثابت می‎شود در بین همه پنج‎ضلعی‎ها، پنج‌ضلعی منتظم بزرگ‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد. همچنین می‌توان ثابت کرد یک پنج‌ضلعی با نسبت هم‌پیرامونی بزرگ‌تر وجود دارد. البته برای هر پنج‌ضلعی یک شش‌ضلعی با نسبت هم‌پیرامونی بزرگ‌تر وجود دارد، گرچه می‌توان حالت کلی تر را نیز در نظر گرفت و ثابت کرد:

برای هر چند‌ضلعی محدب مفروض، چندضلعی محدب دیگری با یک ضلع بیشتر وجود دارد که دارای نسبت هم‌پیرامونی بزرگ‌تری باشد